1º) AREA DEL RECINTO DETERMINADO POR UNA CURVA y =f(x), EL EJE OX y las rectas x=a , x=b
Aquí te tienen que dar entre q puntos (abscisas) lo quieres.
Ejemplo 1: Calcula el área encerrada por la parábola y =x2+1 y el eje OX entre 0 y 3
Solución
Dibujas la parábola y la recta x=3
el área q te están pidiendo es el q te coloreo de rojo
y la integral q te da el área será:
Ejercicio 1. Calcula el área determinado por la parábola y=-x2-4 el eje OX entre -2 y 2 (TEN CUIDADO Q AHORA LA FUNCIÓN QUEDA POR DEBAJO DEL EJE, MIRA SI QUIERES AYUDARTE EL EJEMPLO Q PUSE ABAJO PINCHA AQUÍ)
2º) ÁREA ENCERRADA POR DOS CURVAS f Y g
El área encerrada por dos curvas f y g entre a y b será
Un caso especial de éste es cuando te dan una curva y = f(x) y el eje OX (que tiene de ecuación y = 0, por eso no le restas nada si la f está por encima)
Ejemplo. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y =x-x2 y el eje OX.
Solución
= =
PUES OTRA DEL ESTILO SERÍA
Ejercicio 2. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y =1-x2 y el eje OX.
En el caso de q la parábola o la función q te dieran, estuviera por abajo tendrías que ponerla negativa pues seria 0-f, te pongo un caso para aclararte esto
Ejemplo: Hallar el área encerrada por la parábola y =x2-4 y el eje de las X
El dibujo queda así (hazlo)
los límites de integración como ves en el dibujo son los puntos de corte de la curva y el eje OX, que los encuentras resolviendo la ecuación, es decir -2 y 2.
Entonces el área A = ,
Ya q y=0 es la q queda por arriba entre -2 y 2, y la parábola por debajo
Ejercicio 3: Calcula el área encerrada por la parábola y=x2-7x+6 y el eje OX
Ejemplo 4. Halla el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x)=4–x2 y g(x)=3x2.
Solución.
Dibujamos el recinto.
Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte
de las gráficas, que se obtienen al resolver el sistema
.
(Comprueba que las soluciones de x son -1 y 1, por tanto esos valores serán los límites de integración)
Por tanto A = (comprobarlo)
Ejercicio 1. Hallar el área comprendida entre la función f(x)=-x2+2 x + 3 y la recta
y =x +1
Ejercicio 4. Hallar el área limitada por las gráficas de las parábolas y =x2 y x = y2
Ejercicio 5. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x)= x y g(x)=
3º) ÁREAS DE POLÍGONOS DADOS POR LOS VÉRTICES
EN ESTOS HAY QUE REPRESENTARLOS Y ENCONTRAR LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS Q DETERMINAN LA LÍNEA Q ENCIERRA EL ÁREA
Ejemplo 1. Vamos a expresar mediante una integral el área del trapecio de vértices:
(3, 0), (15, 0), (15, 15) y (3, 3), (ver figura) ( Este problema fue propuesto en selectividad)
Necesitamos conocer la expresión de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), en este caso es trivial, es y = x.
El área viene dada por : A =
Ejercicio 2. Hallar el área del polígono de vértices (-2, 0), (0, 3). (5, 3) y (5, 0) usando la integral definida.
Ejercicio 3. Los tres vértices de un triángulo son: A(0, 1), B(1, 2) y C(3, 0).
Calcula su área usando la integral definida