1º) AREA DEL RECINTO DETERMINADO POR UNA CURVA y =f(x), EL EJE OX y las rectas x=a , x=b

Aquí te tienen que dar entre q puntos (abscisas)  lo quieres.

Ejemplo 1: Calcula el área encerrada por la parábola y =x2+1 y el eje OX entre 0 y 3

Solución

Dibujas la parábola y la recta x=3

el área q te están pidiendo es el q te coloreo de rojo

y la integral q te da el área será:

Ejercicio 1.  Calcula el área determinado por la parábola y=-x2-4 el eje OX entre -2 y 2 (TEN CUIDADO Q AHORA LA FUNCIÓN QUEDA POR DEBAJO DEL EJE, MIRA SI QUIERES AYUDARTE EL EJEMPLO Q PUSE ABAJO PINCHA AQUÍ)

 

2º) ÁREA ENCERRADA POR DOS CURVAS f Y g

El área encerrada por dos curvas f y g entre a y b será

Un caso especial de éste es cuando te dan una curva y = f(x) y el eje OX (que tiene de ecuación y = 0, por eso no le restas nada si la f está por encima)

Ejemplo. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y =x-x2 y el eje OX.

Solución

= =

 

PUES OTRA DEL ESTILO SERÍA

 

Ejercicio 2. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y =1-x2 y el eje OX.

En el caso de q la parábola o la función q te dieran, estuviera por abajo tendrías que ponerla negativa pues seria 0-f, te pongo un caso para aclararte esto

Ejemplo: Hallar el área encerrada por la parábola y =x2-4 y el eje de las X

El dibujo queda así (hazlo)

los límites de integración como ves en el dibujo son los puntos de corte de la curva y el eje OX, que los encuentras resolviendo la ecuación, es decir -2 y 2.

Entonces el área A =   ,

Ya q y=0 es la q queda por arriba entre -2 y 2, y la parábola por debajo

 

Ejercicio 3: Calcula el área encerrada por la parábola y=x2-7x+6 y el eje OX

 

Ejemplo 4. Halla el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x)=4–x2 y g(x)=3x2.

Solución.

Dibujamos el recinto.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte

de las gráficas, que se obtienen al resolver el sistema

.

 

 

(Comprueba  que las soluciones de  x son  -1 y 1, por tanto esos valores serán los límites de integración)

 

Por tanto A =  (comprobarlo)

Ejercicio 1. Hallar el área comprendida entre la función f(x)=-x2+2 x + 3 y la recta

y =x +1

Ejercicio 4. Hallar el área limitada por las gráficas de las parábolas y =x2   y   x = y2

Ejercicio 5. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x)= x  y  g(x)=

 

 

3º) ÁREAS DE POLÍGONOS DADOS POR LOS VÉRTICES

EN ESTOS HAY QUE REPRESENTARLOS Y ENCONTRAR LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS Q DETERMINAN LA LÍNEA Q ENCIERRA EL ÁREA

Ejemplo 1. Vamos a expresar mediante una integral el área del trapecio de vértices:

 (3, 0), (15, 0), (15, 15) y (3, 3), (ver figura) ( Este problema fue propuesto en selectividad)

 

Necesitamos conocer la expresión de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), en este caso es trivial, es y = x.

El área viene dada por : A =

 

Ejercicio 2. Hallar el área del polígono de vértices (-2, 0), (0, 3). (5, 3) y (5, 0) usando la integral definida.

Ejercicio 3.  Los tres vértices de un triángulo son: A(0, 1), B(1, 2) y C(3, 0).

Calcula su área usando la integral definida

 

 

EJERCICIOS MODELO DE EXÁMENES