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Actividades

 

1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas.

a)   x +  y +  z =   0           b) 2x + 5y       = 16      c)  x + 2y =3

    7x  - 4y  -  z = -11               x + 3y -2z =-2           3x +  y = 4

    4x + 6y + 8z =   2                x +         z = 4           2x -  y = 1

d)    x +  y +  z = 6           e) 2x -  y + z = 3      f)  x -   y +  z = 0

               y  -  z = 1                x - 2y -z = 3          3x + 2y - 2z = 1

       x + 2y        = 0              4x - 5y -z = 9           5x               = 1

 

2. Calcula k para que los planos siguientes se corten en una recta.

  x +    y  +   z = 2

2x +  3y  +   z = 3

k x + 10y + 4z =11

 

3.  Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro.

  x +        y + k z = 1

k x + (k-1)y +   z = k

  x +        y +   z = k + 1

 

4.  a) Hállense todos los valore posibles de a, b, y c para que los planos siguientes sean paralelos o coincidentes:

            x + by + 5cz =1       

2x + (a-1)y + (3b-1)z =2

b) ¿Para qué valores específicos de a, b y c los dos planos anteriores son coincidentes y pasan por el punto (1,2,-1)

 

5. Un problema de grifos te conduce a un sistema del tipo:

a/x +  a/y  = m

b/x  - b/y  = m2    ;       donde a, b y m son constantes no nulas y  2ab = b +a m

Si intentas resolver dicho sistema, ¿qué valores de a te conducen a un sistema incompatible?

Sol. a =1.

 

6. Entre tú y yo tenemos 12 600ptas. Si lo que yo tengo aumentara en un 14%, entonces tendría el 75% de lo que tienes tú. ¿Cuánto tenemos cada uno?

 Sol. Yo tengo 5 000 y tú 7 600.

 

7. Un grifo A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otro grifo B. Abiertos simultáneamente, llenan el depósito en dos horas?. ¿Cuánto tarda cada uno por separado?

 Sol. A tarda 6 horas y B tarda 3.

 

8. Queremos averiguar las edades de una familia formada por los padres y los dos hijos. Si sumamos sus edades de tres en tres obtenemos 100, 73, 74 y 98 años respectivamente. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?.

 Sol. Padre 42, madre 41, hijos 17 y 15.

 

9. Nos hemos gastado 4260ptas. por una botella de ginebra, una de ron y dos de licor de manzana, pero, por tres de ginebra, cuatro de ron y una de licor de manzana hubiésemos pagado 7380ptas. y por dos de ginebra y tres de ron pagaríamos 4350. ¿Cuánto vale una botella de licor de manzana?.

Sol 1230ptas.

 

10. Los lados de un triángulo ABC miden 2, 3 y 4 m, respectivamente. Hállense lo lado de otro triángulo A’B’C’ que es semejante al anterior y tiene 36m de perímetro. Sol. 8, 12 y 16.

 

11. La suma de las tres cifras de un nº es 12, la diferencia entre este número y el que resulta al invertir el orden de sus cifras es 198 y la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos cifras. Halla el número pedido.

 Sol. El nº es el 543.

 

12. En un garaje hay 100 vehículos entre motos, triciclos y coches. Para combatir el insomnio, el vigilante ha decidido entretenerse contando las ruedas y pensando luego cuántos vehículos de cada clase podría haber. Si ha contado un total de 328 ruedas,:

a) Entre qué valores puede estar el nº de coches?.

b) ¿Es posible que haya sólo un triciclo? ¿Por qué?

c) Si hubiera 2 triciclos por cada 5 motos, ¿Cuántos vehículos habría de cada clase?

Sol.  a) entre 29 y 63;

        b) No, porque saldría decimal el nº de motos;

        c) 58 coches, 12 triciclos y 30 motos.

 

13. Tres máquinas limpiadoras A, B y C trabajando juntas realizan la limpieza de unos grandes almacenes en 4 horas. Si se estropea la máquina B, entonces a y C realizan el trabajo en 6 horas,  pero si se estropea la máquina C entonces A y B lo realizan en 8 horas. ¿Cuánto tardaría cada máquina por separado en realizar el trabajo?.

 Sol. A, 24 horas; B, 12 horas y C  8 horas.

 

14. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 352500ptas. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 1500ptas., cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.

 Sol. 150, 300 y 50.

 

15. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda una partida, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24euros. ¿Cuánto tenia cada jugador al comenzar el juego?.

Sol. 39, 21, 12.


Soluciones de los problemas propuestos en las actividades.

4.  a)  Por la condición de paralelismo:

1/2 = b/(a-1) = 5c/(3b - 1) = 1/2; serán coincidentes.

Se tiene:

         1/2 = b/(a-1), de donde a - 1 = 2b Þ a - 2b   - 1 =0

         1/2 = 5c/(3b - 1) Þ 3b - 1 = 10c  Þ   3b - 10c -1 =0

El sistema es indeterminado, si hacemos b = t, nos queda      [1]

b)  Si  queremos que además pasen por (1, 2, -1) se tendrá:

                   1 + 2t -  (-1 +3t)/2 = 1, de donde t = -1,

Sustituyendo en [1] se obtiene: a = -1, b = -1, c = -2/5.

5. 1/x + 1/y  = m/a   (a¹0)

    1/x  - 1/y  = m2/b   (b¹0)               Sumando:    

 2/x = m/a + m2/b= (mb + am2)/ab,  como por hipótesis 2ab = b + am, entonces 1/x = mÞx = 1/m;  sustituyendo en la 1ª ecuación:

1/y = m/a - m =m(1 - a)/aÞ y = a/m(1 - a), luego si a =1 el sistema sería incompatible.

(comprobar que si a¹1, entonces b ¹ m)

6. Sea x el dinero que tengo yo e y el que tienes tú.

Lo mío aumenta un 14%, luego tendré : x + 0,14x = 1,14x

Entonces :

x +y = 12 600

1,14x = 0,75y   de donde x = 5 000ptas. e y = 7 600ptas. (comprobarlo)

7.  Los problemas de llenado y vaciado se resuelven operando con las fracciones de depósito que llena cada grifo en una hora.

Si el grifo A tarda x horas en llenar el depósito, en 1 hora llena 1/x de depósito.

          “     B      “  y       “                   “                   1 hora      “     1/y       “

A  + B      tardan   2h            “                 “              1 hora      “      1/2      “

Las condiciones nos permiten plantear dos ecuaciones:

1/x  +   1/y  = 1/2

                x = 2y,      sustituyendo en la 1ª ecuación obtenemos y =3, x =6

 

8.  Llamando x, y, z y u a las edades del padre, la madres y los dos hijos respectivamente. Se tiene:

x + y + z       = 100

      y + z + u = 73

x +       z + u = 74

x + y        + u = 98

 es la matriz ampliada del sistema.

Comprobar que aplicando el método de Gauss se llega al sistema:

 

 

x + y + z       = 100

      y + z + u = 73

           z + 2u = 47

                  3u = 45

 de donde u =15, z =17, y = 41, x =42.

9. Si llamamos x, y, z a los precios de las botellas de ginebra, ron y licor de manzana respectivamente se tiene:

  x +   y + 2z = 4260

3x + 4y +   z = 7380

2x  + 3y         = 4350

Resolviendo el sistema se obtiene z =1230.

10.  Sean x, y , z los lados, entonces 

(1)        x + y + z =36

al  ser  los triángulos semejantes los lados son proporcionales, por lo tanto:

==  =  = 4     por (1),

de donde x =8,   y =12,   z =16.

Nota.  Se ha usado para resolver este problema una propiedad de la proporcionalidad directa, pero también podría haberse resulto planteando el sistema de tres ecuaciones que proporcionan las condiciones. Hacerlo.

11.  Sea    x y z el número que buscamos, las condiciones nos permiten plantear 3 ecuaciones:

                               

 

                                     x + y + z =12

100x + 10y +z - (100z + 10y + x ) =198

                                                  y =

de donde:              x + y + z =12

                 x       - z  =2

                 x - 2y +z =0 ,

 que resuelto da  z = 3, y = 4 ,x = 5 y el nº pedido el 543.

12.

 

Vehículos

Ruedas

Motos

x

2x

Triciclos

y

3y

Coches

z

4z

 Total

100

328

Utilizando las condiciones podemos encontrar:

    x +   y +  z = 100

   2x + 3y + 4z = 328 ,  resolvemos por Gauss:

ÞÞ

x + y +  z  = 100

      y + 2z = 128       

sistema que tiene menos ecuaciones que incógnitas, luego es indeterminado y con un grado de libertad.

Haciendo z = t, nos quedaría:

y = 128 - 2t,  x = 100 - (128 - 2t) -t = -28 + t, es decir las solución es:

a) Para determinar  qué valores puede tomar z, número de coches , imponemos que los de y, x sean enteros positivos, Þ,  t>28   y  t<64. Luego z está entre 29 y 63.

b) Si y =1, obtendríamos t = 27/2 =z que no es válida como solución  por ser decimal.

c)Al sistema anterior añadimos la ecuación que nos da la condición de 2 triciclos por cada 5 motos, es decir  2x - 5y = 0, con lo que tendremos tres ecuaciones con tres incógnitas:

x +    y  +  z = 100

2x + 3y + 4z = 328

2x  - 5y         =   0

Utilizamos el método de Gauss:

ÞÞ

 

Es sistema que resulta es:  x + y +   z = 100

                                               y + 2z = 128 

                                                   12z = 696

de donde 12z = 696Þ z = 58, sustituyendo este valor en la 2ª ecuación da y =12, y llevando esos dos valores a la 1ª x =30..

13.  Es un problema tipo “grifos”

 

 

Tiempo limpieza

Limpieza en

1 hora

A, B y C juntas

 4

1/4

A y C

 6

1/6

A y B

8

1/8

 

Llamamos x, y, z   al nº de horas que tarda cada máquina por separado en hacer todo el trabajo.

Entonces en 1 hora A limpiará 1/x del total

                   1 hora B    “          1/y      “

                   1 hora C     “          1/z      “

Por comodidad hacemos un cambio de variables,  X = 1/x, Y = 1/y , Z =1/z.

Entonces : X + Y + Z =1/4

                 X +        Z = 1/6

                 X +  Z        = 1/8

Resolviendo por Gauss se llega a que :

X =1/24, Þ x =24; Y =1/12 Þ y =12; Z =1/8 Þ z =8.

 

14.. Sean x, y, z el nº de pasajeros que pagan el 100 %, el 20% y el 50% del billete respectivamente.

nº de viajeros

precio pagado

x

1500

y

300

z

750

 

Entonces:                 x  +  y + z = 500

                1500x + 300y + 750y = 352.500 ,  30x +6y +15z = 7050

                                               y = 2x

De donde:    3x + z = 500  

                42x +15z = 7040   

Por reducción  3x= 450, luego : x =150,  y =300, z =50.

Comprobar el resultado utilizando Gauss.

15. Sean A, B y C los tres amigos, x, y,  z el dinero que poseen al empezar la 1ª partida, respectivamente.

 

 

A

B

C

D. al empezar

x

y

z

pierde A

x -y-z

2y

2z

pierde B

2(x-y-z)

2y-(x-y-z)-2z

4z

pierde C

4(x-y-z)

2(2y-(x-y-z)-2z)

4z-2(x-y-z)-(2y-(x-y-z)-2z)

D. al terminar

24

24

24

 

 

Luego  4(x-y-z) = 24; 2(2y-(x-y-z)-2z) =24; 4z-2(x-y-z)-(2y-(x-y-z)-2z=24, de donde:

  x  -   y - z =  6

 -x + 3y - z = 12

              4z = 48 Þ z =12            (Se ha utilizado que x-y-z =6),

de donde se obtiene x =39, y =21. 

 

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