INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

 

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1. a) Si dos vectores tiene la misma longitud, ¿podemos asegurar que son iguales? Razona la respuesta . Pon ejemplos

 

2. a)¿Cuántos sentidos pueden existir en una dirección dada?

b) ¿Es posible que dos vectores tengan la misma dirección, punto de aplicación e intensidad y que sean distintos? Razona la respuesta. Pon ejemplos

 

3. a) Si las direcciones de dos vectores convergen ¿podrán ser iguales los vectores?

b) Dos vectores son paralelos y tienen la misma intensidad. ¿Han de ser iguales?

Razona las respuestas. Pon ejemplos.

 

4. Dibuja en tu cuaderno tres vectores iguales y tres vectores distintos

 

5. a)Las componentes de un vector son 5 en el eje x y -4 en el eje y. ¿cuánto vale su intensidad (módulo)?

b) ¿Cuál de los siguientes vectores tiene mayor intensidad? (3,0); (2,1); (2,2); (3,2).

c) Demostrar que los puntos A (0, 1), B(3, 5), C(7, 2) y D(4, -2) son los vértices de un cuadrado 

Solución

a)La intensidad o módulo del vector es:

c) Se verifica:

 

6. a) Dados los vectores (1,2) y (0,-3) ¿cuál es el resultado de su adición?

b) Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza las sumas: u + v + w , v + u + w . ¿Qué observas?

Solución

 

b) u + v + w = ( 2, 2); v + u + w = (2,  2). Son iguales, la suma es conmutativa.

Comprueba el resultado gráficamente

 

7. a) ¿Cuál será el vector opuesto del vector (1, 2)?

Con los vectores del segundo ejercicio anterior , realiza las sustracciones

u - v , v – u, u - w.

 

8. Suma en tu cuaderno, de forma gráfica (2,1)+(-1,1)+(-2,0).

Realiza la suma anterior de forma analítica.

 

9. Dados los vectores v(1,2) y w(-2,1), ¿qué vector deberé sumar a  v + w para obtener el vector (0,0)?

Solución

El (1, -3), pues tendrá que ser el opuesto de la suma v + w = (-1, 3). Comprueba la afirmación haciendo la suma gráficamente

10 Dados el punto P(1,-2) y el vector v =(-1,3) obtener:
a) Las ecuaciones vectorial, continua, general y explícita de la recta r que pasa por P y tiene como dirección v.
b) Obtener tres puntos de la recta distintos de P.
c) Comprobar si los puntos A(6,7), B(2,-5) y C(4,-1) son puntos de la recta r o no.
d) Representar la recta r.

Solución

a) x = (x, y) = (-1, 2) + t (-1, 3) ecuación vectorial

Eliminando el parámetro se llega a la ecuación continua:  

De donde obtenemos la ecuación cartesiana: 3(x +1)=-(y-2) 3x +y = -1

Despejando obtenemos la ecuación explícita: y = -3x -1

 

 

11. Halla gráficamente la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-3, -6) y B((3, -2) y escribe su ecuación.

Solución

La pendiente según se ve en la gráfica es

 

 

la ordenada en el origen es -4

y por tanto la ecuación es

                  

 

 

 

 

 

 

12. Halla la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:

a) (2. 3) y (-1, 0)

 

b) (3, 1) y (4, -5) .           Solución

 

13. Dibuja y halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a)  (2. 3) y (-1, 0);  b) (3, 1) y (4, -5)

 

14. Hallar la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por el punto (0, 1) y tiene por pendiente 3

b) Pasa por el punto (0, 4) y tiene por pendiente 3/4

c) Pasa por el punto (-3, 3) y tiene por pendiente -4

 

15. Halla la pendiente de las rectas:

a) y = -3x +1; b) y = 2-x; c) 3x-2y-4=0; d)  

 

 

16. a) Obtener la pendiente, la ordenada en el origen y la representación gráfica de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(5,-1).

b) Obtener la ecuación explícita y la general  de la recta paralela a r que pasa por (0,-1).

Solución (Puede abordarse el problema de varias formas)

a) La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es  y = mx +n, como pasa por P y Q se verifica que por reducción nos da pendiente m =-3/4, ordenada en el origen  n=11/4

La recta tiene por ecuación explícita  , y por cartesiana 3x +4y=11

b) La ecuación explícita de la recta paralela que pasa  por (0, -1) es y =(-3/4)x-1 y la cartesiana

 

3x+ 4y=-4, Comprobarlo y hacer la gráfica

 

 

17.  a) Obtener la pendiente, la ordenada en el origen y la representación gráfica de la recta que pasa por los puntos P(3,4) y Q(2,1).

b) Obtener la ecuación  punto-pendiente de la recta paralela a r que pasa por (0,-2).

 

18.. Dados los puntos A(1, -3), B(2, 0) y C(-4, 1) se pide:

a) Ecuación de la recta r que pasa por A y B.

b) Ecuación de la recta paralela a r que pasa por C.

Solución (se puede hacer de varias formas)

a) el vector AB tiene de coordenadas (2, 0)-(1, -3)= (1, 3), luego la ecuación de r es:

b) la paralela que pasa por C tiene por ecuación

 

19. Encontrar la ecuación de la recta r paralela a 2x-3y =4 que pasa por el punto de intersección de las rectas  s y t de ecuaciones  y =3x-1 , x +2y=-3

 

20. Encuentra la ecuación de la recta que tiene por dirección el vector v(-1, 3) y pasa por el punto de corte de las rectas  de ecuaciones x + y =1  y  2x-3y=0

 

21.  a) Calcular las coordenada del punto B de un segmento , sabiendo que las coordenadas de A son (2, 6), y las del punto medio M son (4, 5)

b) Calcular la recta paralela a 2x +y-1=0 que pasa por el punto A(1, 1)

Solución

a) El punto medio del segmento tiene por coordenadas: (m1, m2) =, luego se tendrá (4, 5)= , es decir tendremos que  8=2 +b1 , de donde b1= 6. Análogamente b2=4 (comprobarlo)

b) El haz de rectas paralelas es de la forma:  2x +y +c = 0 y como queremos la que pasa por el punto A(1, 1)  2.1+1 + c = 0, c =-3

 

 

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Cuaderno de actividades 4º ESO

                                                                                             

 

Matemáticas en la Secundaria