INTEGRALES
I) Integral indefinida.
Funciones primitivas
Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una
primitiva de f si se verifica F ’=f
Ejemplo 1. Si f(x)= 3x2 una primitiva es F(x)= x3.
Otra G(x)= x3+7
Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F +C también lo es.
En
efecto ya que (F +C)’=F’+C’= F’ +0= f
Proposición.2.Si
una función f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se
admite sin demostración)
Teorema. Si F1 y F2 son primitivas de f, entonces se
diferencian en una constante, es decir F1= F2 +C
Demostración
Si F1
es primitiva de f Þ F1’(x)= f(x); si F2 es primitiva de f Þ F2’(x)=
f(x)
Luego F1’(x)-
F2’(x)= 0 Þ F1-F2= C
Consecuencia. Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F
+C. A dicho conjunto se le llamará la integral
indefinida de f y se escribirá 
ó 
.
A f(x) se le llama integrando y al símbolo 
,
símbolo de integración.
Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)
1) 
Es
consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas
2) 
Es
consecuencia de que si F es primitiva de f Þ kF es primitiva de kf,
pues (kF)’= kF’= kf
Tabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la tabla de derivadas y la relación
entre ambas).
Integrales inmediatas (o “casi inmediatas”)
Llamamos
así a aquellas que no requieren de ningún método para encontrar una primitiva,
sino del simple reconocimiento de la función que se ha derivado. Son las que
daremos en este curso.
Ejemplo 2. a) 
b) 
c) 
Ejercicios
Calcula las siguientes integrales
inmediatas:
a)
; b) 
;
c) 
; d) 
;
e) 
;
f) 
; g) 
;
h) 
; i) 
II) La integral definida.
Significado geométrico
INTRODUCCIÓN: Problema del cálculo de un área
A ese
valor se le llama la integral definida
de f en [a, b]. Se escribirá: 
Áreas de
recintos planos
Geométricamente
la integral definida mide el área comprendida
entre la curva y = f(x) (f positiva en [a, b] ) el eje de las X y las rectas x
= a y x = b.
A
a
b
Ejemplo
1. Vamos a expresar mediante una integral el área
del trapecio de vértices:
(3, 0),
(15, 0), (15, 15) y (3, 3), (ver figura)
Necesitamos
conocer la expresión de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), en
este caso es trivial, es y = x.
El área viene dada por : A = 
Relación
entre la integral definida y la indefinida
La regla de Barrow
nos relaciona la primitivas de una función con la integral definida, y es lo
que utilizaremos para el cálculo de áreas planas.
Regla de Barrow
Si f es continua en [a, b] y G es una
primitiva de f 
=
Ejemplo 2. El valor del área del ejemplo 1 es:
A = 
= 
=
(comprobarlo)
Área
encerrada entre dos curvas
Teniendo en cuenta los resultados
anteriores el área que encierra una curva f con el eje de abscisas y las
rectas x = a y x = b se puede calcular así: 
, ya que
de esta manera será la función siempre positiva.
Ejemplo 3. Calcula el área del recinto determinado por
la parábola y =x-x2 y el eje OX.
Solución
=
=
El área
encerrada por dos curvas f y g entre a y b será 
Ejemplo 4. Halla el área de la región comprendida entre las
curvas determinadas por f(x)=4–x2 y g(x)=3x2.
Solución.
Dibujamos el
recinto.
Los límites de integración son las abscisas de los puntos de
corte
de las gráficas, que se obtienen al
resolver el sistema
.
(Comprobar que dan -1 y 1)
Por tanto A = 
(comprobarlo)
Ejercicio 1. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x)= x y g(x)= 
Ejercicio 2. Hallar el área limitada por las gráficas de las parábolas y =x2
y x = y2
Ejercicio 3. Los
tres vértices de un triángulo son: A(0, 1), B(1, 2) y C(3, 0).
Calcula su área usando la integral definida
Problema propuesto en
selectividad
Expresa
por una integral el área del trapecio de vértices (3,0), (15,0), (15,15) y
(3,3) y explicando el significado.
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INTEGRACIÓN ESTÁ MAS COMPLETO EN FORMATO pdf: INTEGRALES
Si A es
el área buscada se tiene: SD < A < SE